jueves, 23 de octubre de 2008

La Regla De Tres Simple Directa

LA REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA



¿Sabías que las magnitudes ya se conocían y se utilizaban en la antigüedad?

¿Sabías que fueron los árabes los primeros en utilizar la regla de tres?

¿Sabías que en el siglo XII se introdujo la regla de tres en el mundo occidental; nuestro mundo.

¿Sabías que a la regla de tres se le conocía como la Regla de los Mercaderes?

¿Sabías que la Regla de los Mercaderes, ahora llamada regla de tres, tenía una gran importancia por el apoyo que brindaba para hacer cálculos en las transacciones mercantiles?

Finalmente, ¿Sabes qué es una regla de tres?

Si sabes que por 3 manzanas se paga 9 centavos y necesitas comprar 7 manzanas, ¿qué haces para conocer cuánto debes pagar?

Este tipo de problemas se los resuelve aplicando una "Regla de Tres".

La regla de tres es una aplicación de toda la teoría de la proporcionalidad que ya hemos estudiado.

La regla de tres simple directa, que ahora estudiaremos, es una aplicación de las proporciones directas.

Recordemos que la principal propiedad de las proposiciones dice que el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

Planteemos un problema de regla de tres y encontremos por qué es una aplicación de las proporciones.


Ejemplo: Por la compra de 7 lápices pagué 28 ctv.; si compro 11 lápices, ¿Cuánto debo pagar?

Para resolver este problema, lo primero que hacemos es averiguar el costo de 1 lápiz; para ello, dividimos 28 para 7.

El cociente que obtengamos lo multiplicamos por 11, de esta manera sabemos cuánto se paga por 11 lápices.


Ahora planteemos este problema como proporción, designemos con la letra a, el valor que se paga por 7 lápices; con la letra b, los 7 lápices, con la letra c los 11 lápices y con la letra d, el costo de los 11 lápices.

Como d es un valor desconocido, despejamos dicho valor.

Sustituimos cada letra por su respectivo valor y llegamos a la ecuación que ya planteamos (gráfico anterior).


Finalmente, planteemos la regla de tres, para ello hacemos 2 columnas; en la primera columna está la magnitud "costo de los lápices" y en la segunda columna el "número de lápices".

Planteamos la respectiva proporción y obtenemos la ecuación para conocer el valor desconocido.

Resolvemos finalmente el problema; así sabremos cuánto pagar por 11 pápices.


d = 28 x 11 = 44
7

Respondemos: Por 11 lápices debo pagar 44 centavos.

Estudiemos otro problema de regla de tres.

En 25 cajas caben 200 chocolates, ¿Cuántos chocolates se pueden colocar en 17 cajas?

Las magnitudes de este problema también son directamente proporcionales puesto que, a un incremento de una le corresponde un incremento de la otra magnitud.

Planteamos la regla de tres.

Resolvemos.

Respondemos: En 17 cajas caben 136 chocolates


La regla de tres simple directa es una aplicación de las proporciones directas y consiste en encontrar el valor de uno de los cuatro términos que intervienen en una proporción, conociendo los tres términos.

LA REGLA DE TRES COMPUESTA

Pero, ¿existe la regla de tres entre cinco, siete, nueve, etc. elementos? Por supuesto que no existe. Debería llamarse, según el caso, "regla de cinco", "regla de siete", etc.

En realidad son varias reglas de tres simple aplicadas sucesivamente. Y cada una de estas "reglas de tres" puede ser directa o inversa, con lo que las operaciones de producto o cociente dependerán de eso.

Varias reglas de tres simple directas y sucesivas formarán una REGLA DE TRES COMPUESTA DIRECTA.
Varias reglas de tres simple inversas y sucesivas formarán una REGLA DE TRES COMPUESTA INVERSA.
Varias reglas de tres simple, unas directas y otras inversas sucesivas formarán una REGLA DE TRES COMPUESTA MIXTA.

Veamos, Cynthia, cómo te lo puedo hacer más claro. Tal vez, con ejemplos. Pero ya no serán tan paraguayos como el primero (el de las naranjas).

Se compran 8 paquetes de materia prima de 150 kilogramos cada uno por un total de $ 480. ¿Cuánto costarán 20 paquetes de 80 kilogramos cada uno?

8 paquetes costarán menos que 20 paquetes, y los de 150 kilogramos costarán más que los de 80 kilogramos. Si te fijas con cuidado, ambas relaciones son directamente proporcionales (a más, más; a menos, menos).

La dos reglas de tres simple directa serían:
8 ----- 480
20 ----- x

x = (480 x 20) / 8

150 ---- 480 x 20 / 8
80 ------------------ y

y = (480 x 20 x 80) / (8 x 150)

Un automovilista sabe que para cubrir cierta distancia en 10 días, a razón de 12 horas diarias de marcha, debe andar a un promedio de 42 kilómetros por hora. ¿A qué velocidad deberá andar para realizar ese mismo trayecto en 8 días viajando 9 horas diarias?

Para cubrir el trayecto en menos días deberá viajar a más velocidad (INVERSA), y si viaja más horas por días podrá hacerlo a menor velocidad (INVERSA). Ambas relaciones son, como dijimos, inversamente proporcionales (a más, menos; a menos, más).

Las dos reglas de tres simple inversa serían:

10 ------ 42
8 ------- x

x = (42 x 10) / 8

12 ------- (42 x 10) / 8
9 -------------------- y

y = (42 x 10 x 12) / (8 x 9)

El dueño de una tejeduría ha calculado que para tejer 630 metros de tela, 8 operarios tardan 7 días. Si 2 tejedores no pueden trabajar (con lo que quedan sólo 6), ¿cuántos días tardarán para hacer 810 metros de tela?

Para tejer más tela tardarán más días (DIRECTA), pero menos obreros tardarán más días (INVERSA). Es, por tanto, una REGLA DE TRES COMPUESTA MIXTA.

La dos sucesivas reglas de tres simple serían:

630 ------- 7
810 ------ x

x = (7 x 810) / 630

8 -------- (7 x 810 / 630)
6 --------------------------- y

y = (7 x 810 x 8) / (630 x 6)

CONCRETANDO:

- El valor que está en la primera línea a la derecha, va siempre primero, "arriba" (multiplicando).
- Si es regla de tres directa, el valor que está en la primera línea a la izquierda va siempre abajo (dividiendo), y el valor que está en la segunda línea a la izquierda va siempre arriba (multiplicando).
- Si es regla de tres inversa, el valor que está en la primera línea a la izquierda va siempre arriba (multiplicando), y el valor que está en la segunda línea a la izquierda va siempre abajo (dividiendo).

Otra forma de expresarlo:

El primer dato (que corresponde a la unidad de la incógnita) va siempre multiplicando.
Cada dato directamente proporcional quedará en el numerador. Cada dato inversamente proporcional quedará en el denominador.

LAS PROPORCIONES

Una proporción es una igualdad entre dos razones , y aparece frecuentemente en notación fraccionaria.
Por ejemplo:
2 = 6 5 15
Para resolver una proporción, debemos multiplicar cruzado para formar una ecuación. Por ejemplo:
2 = 6 = 5 15
2 · 15 = 6 · 5
30 = 30
Las proporciones expresan igualdades.
Ejemplo:
2 = 8 x 16
Ahora, se multiplica cruzado.
2 · 16 = 8 · x
32 = 8x Se resuelve la ecuación.
32 = 8x 8 8
4 = x El valor que hace cierta la proporción es 4 es decir:
2 = 8 4 16
Aplicación:
Para hacer sorullitos, mi vecina usa: 3 tazas de harina de maíz por 1 taza de líquido ( que contiene agua, azúcar, sal y mantequilla). Si ella quiere hacer 13 tazas de harina, ¿cuánto líquido debe agregarle?
Hagamos una proporción:
harina = harina líquido líquido
3 tazas harina = 13 tazas 1 taza líquido x tazas líquido
x es el valor que busco; en este caso, es el líquido para las 13 tazas de harina.
3 = 13 1 x
Ahora, se multiplica cruzado.
3 · x = 13 · 1 3x = 13
Se resuelve la ecuación para encontrar el valor de x.
3x = 13 3 3
x = 4.3
La x es igual a 4.3 . Por lo tanto, para 13 tazas de harina, se necesitan 4.3 tazas de líquido para poder hacer los sorullitos.
Otra aplicación:
Mi vecina ahora quiere hacer sorullitos, y ya sabemos que ella utiliza 3 tazas de harina por 1 taza de líquido. Ella ya tiene preparado 5.5 tazas de líquido. ¿Cuántas tazas de harina necesita para hacer los sorullitos?
harina = harina líquido líquido
3 tazas harina = x tazas harina 1 taza líquido 5.5 tazas líquido
3 = x 1 5.5
3 · 5.5 = x · 1
16.5 = x
Quiere decir, que para 5.5 tazas de líquido se necesitan 16.5 tazas de harina.
Proporciones utilizando por ciento
% = porción de un número 100 total del número
¿ Cuál es el 12% de 658?
12 = X 100 658
12 · 658 = 100 ·X
7896 = 100 · X
7896 = 100X 100 100
78.96 = X

Estamos buscando una porción de 658 .
En esta proporción, hay que ver que 12/100 está dado por 12%. Al otro lado de la proporción, va la proporción y porción/total. No sabemos la porción, así que la x va arriba. Abajo va el total, que es 658.
¿ Cual es el 30% de 84?
30 = X 100 84
30 · 84 = 100 · X
2520 = 100X
2520 = 100X 100 100
25.2 = X
Sabemos que el 30% se expresa 30/100. Como estamos buscando la porción de 84, la X va arriba como numerador; y el total, que es 84, va abajo como denominador.
¿ El 3% de que número es 5.4?
3 = 5.4 100 X
3 · X = 5.4 · 100 3X = 540
3X = 540 3 3
X = 180
Tenemos el 3% dado por 3/100. Vemos que 5.4 es una porción de un número que no sabemos.
Así que se está buscando el total. Por eso, la x va abajo, en el denominador.
¿ 85 es qué % de 180?
X = 85 100 180
X · 180 = 85 · 100
180X = 8500
180X = 8500 180 180
X = 47.2

No tenemos el porciento; y la porción es 85 y el total es 180. Así que la x va en la parte izquierda de proporción, arriba.
Problemas de Aplicación:
A. Durante 25 minutos de ver televisión, hay 7 minutos de anuncios comerciales. Si ves 70 minutos de televisión, ¿cuántos minutos de anuncios verás?
25 minutos T.V. = 70 minutos T. V. 7 min. anuncios x min. anuncios
25 = 70 7 x
25 · x = 70 · 7 25x = 490

(Resolver Ecuación)
25x = 490 25 25
x = 19.6
Por lo tanto, en 70 minutos de ver televisión , hay 19.6 minutos de anuncios comerciales.
B. Si una docena de huevos cuesta $1.50, ¿cuál será el costo de 100 huevos?
docena huevos = 100 huevos 1.50 x
12 = 100 1.50 x
12 · x = 100 · 1.50 12x = 150

(Resolver Ecuación)
12x = 150 12 12
x = 12.5
Por lo tanto, si una docena de huevos cuesta $1.50, 100 huevos cuesta $12.50.